オンラインDerivative Calculator

導関数とは

導関数は微積分において重要なツールであり，変数の一つについて関数の微小の変化を表します．

関数 f (x)f x がある場合， xx について ff の導関数を記述する方法はたくさんあります．最も一般的なものは Start Fraction, Start 分子, d f , 分子 End,Start 分母, d x , 分母 End , Fraction Endd fd x  および f'(x)f'x です．導関数を nn 回繰り返して求める場合， Start Fraction, Start 分子, Start Power, Start 底, d , 底 End,Start 指数, n , 指数 End , Power End f , 分子 End,Start 分母, d Start Power, Start 底, x , 底 End,Start 指数, n , 指数 End , Power End , 分母 End , Fraction Enddn fdxn  あるいは Start Power, Start 底, f , 底 End,Start 指数, n , 指数 End , Power End (x)fnx という表記が使われます．これらは高次導関数と呼ばれます．二次導関数には f''(x)f''x がよく使われます．

点 x = ax = a では，導関数は f'(a) = Start Limit, Start 変数, h , 変数 End,Start 目標値, 0 , 目標値 End,Start 式, Start Fraction, Start 分子, f (a + h) - f (h) , 分子 End,Start 分母, h , 分母 End , Fraction End , 式 End , Limit Endf'a = limh0f a + h - f hh  と定義されます．この極限は存在するとは限りませんが，存在するならば f (x)f x は x = ax = a において微分可能と言われます．幾何学的に言うと， f'(a)f'a は x = ax = a における f (x)f x の接線の傾きです．

例えば f (x) = Start Power, Start 底, x , 底 End,Start 指数, 3 , 指数 End , Power Endf x = x3 ならば， f'(x) = Start Limit, Start 変数, h , 変数 End,Start 目標値, 0 , 目標値 End,Start 式, Start Fraction, Start 分子, Start Power, Start 底, (h+x) , 底 End,Start 指数, 3 , 指数 End , Power End - Start Power, Start 底, x , 底 End,Start 指数, 3 , 指数 End , Power End , 分子 End,Start 分母, h , 分母 End , Fraction End , 式 End , Limit End = 3 Start Square, Start 底, x , 底 End , Square Endf'x = limh0h+x3-x3h  = 3x2 であり， f''(x)f''x を計算すると以下のようになります． f''(x)f''x: f''(x) = Start Limit, Start 変数, h , 変数 End,Start 目標値, 0 , 目標値 End,Start 式, Start Fraction, Start 分子, 3 Start Power, Start 底, (x+h) , 底 End,Start 指数, 2 , 指数 End , Power End -3 Start Power, Start 底, x , 底 End,Start 指数, 2 , 指数 End , Power End , 分子 End,Start 分母, h , 分母 End , Fraction End , 式 End , Limit End = 6xf''x = limh03x+h2-3 x2h  = 6x.